Question

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形

Answer 1

以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，设AE=a，
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，G(0,2,2)，E(a,0,0)，
向量PE=(a,0,-4)，向量PC=(4,4,-4)，PD=(0,4,-4)，
设平面PEC的法向量m=(x,y,z)，∵向量m⊥向量PE，向量m⊥向量PC，
∴ax-4z=0且4x+4y-4z=0，取x=4，则y=a-4，z=a，∴向量m=(4,a-4,a)，
同理可求出平面PDC的一个法向量n=(0,1,1),
∵平面PEC⊥平面PDC，
∴m⊥n，即有a-4+a=0，a=2，故E(2,0,0)是AB的中点，
∵PE=CE=2√5，
取PC的中点F，连接EF，则EF⊥PC，∴EF⊥平面PDC，
∵EF=2√2,，S△PGC=(1/2)S△PDC=4√2
∴V三棱锥G-PEC=V三棱锥E-PGC=(1/3)S△PGC×EF=(1/3)×4√2×2√2=16/3。