Question

求函数y=x²+a+1/√x²+a的最小值,其中a>0

Answer 1

解：函数y
=
(x²
+
a
+
1)/√(x²
+
a)，（如果已知的是a
>
0）定义域为R
；
化简可得：y
=
(x²
+
a
+
1)/√(x²
+
a)
=
[√(x²
+
a)²
+
1]/√(x²
+
a)
=
√(x²
+
a)
+
1/√(x²
+
a)
≥
2√{√(x²
+
a)*[1/√(x²
+
a)]}
=
2，（当且仅当√(x²
+
a)
=
1/√(x²
+
a)，即√(x²
+
a)
=
1，即x²
+
a
=
1，即x²
=
1
–
a时取等号），对a的值分类讨论可得：
1）如果0
<
a
≤
1，那么(1
–
a)∈[0，1)，此时当且仅当x
=
±√(1
–
a)时，ymin
=
2
；
2）如果a
>
1，那么1
–
a
<
0，x²
≠
1
–
a，上述不等式等号取不到，考虑到函数y
=
√(x²
+
a)
+
1/
√(x²
+
a)是R上的偶函数，而且在x
≥
0上单调递增，所以当且仅当x
=
0时，ymin
=
(a
+
1)/√a
；
综上所述，原函数的最小值ymin
=
{
2
，如果0
<
a
≤
1
；
{
(a
+
1)/
√a
，如果a
>
1
。