Question

数列｛xn｝由下列条件确定:x1=a>0,x（n+1）=1/2*(xn+a/xn),n∈N*,

Answer 1

（1）x1>0,xn+1=1/2(xn+a/xn)(n=1,2...,a>0)
xn+1=1/2(xn+a/xn)=(xn^2+a)/2xn》2xn√a/2xn=√a
故xn》√a
n》2
数列有下界
又：x3-x2=1/2(x2+a/x2)-x2=(1/2)(a/x2-x2)=(a-x2^2)/(2x2)《0
x3《x2
而：xn+1-xn=1/2(xn+a/xn)-1/2(x(n-1)+a/x(n-1)
=(1/2)(xn-x(n-1))(xnx(n-1)-a)/xnx(n+1)
故xn+1-xn《0
xn单减有下界，极限存在
(2)x1=√2，xn+1=√(2xn)
x1=√2<2
xn+1=√(2xn)<√4=2
数列有上界2
又：x2=√(2x1)=√(2√2)>√2=x1
xn+1-xn=√2(√xn-√x(n-1))=√2(xn-x(n-1))/(√xn+√x(n-1))>√2(xn-x(n-1))/4，故xn+1-xn>0
xn单增有上界，极限存在

Answer 2

下表用
"[
]"
1）由
x[n+1]=1/2(
x[n]
+
a/x[n]
)
知道x[n]>0时,x[n+1]>0
而x[1]=a>0，所以所有的
x[n]>0
等式两边减根号a：x[n+1]
-
根号a
=
1/(2x[n])
*
(
x[n]^2
+
a
)
-
根号a
x[n+1]
-
根号a
=1/(2x[n])
*
(
x[n]^2
-
2根号a
*x[n]
+a
)
x[n+1]
-根号a=(
x[n]
-
根号a
)^2
/
(
2*x[n]
)
从等式右边看出时大于等于0的，所以所有的x[n+1]≥根号a
2）
x[n]
-
x[n+1]
=
x[n]
-
1/2(
x[n]
+
a/x[n]
)
=
1/2(
x[n]
-
a/x[n]
)
=(
x[n]^2
-
a
)
/
(
2*x[n]
)
由1）的结论知道，x[n]≥x[n+1]
3）由2）的结论知道，x[n]是单调递减，而且x[n]≥根号a>0
所以它一定有极限。设它趋向于x，即x=lim
x[n]
x[n+1]=1/2(
x[n]
+
a/x[n]
)
两边取极限：x=1/2(x+a/x)
求出
x=根号a
即lim
x[n]=根号a