Question

高等数学：分段函数分段点处的导数如何求？？？

Answer 1

先看这个分段函数在分段点是否连续。

也就是先求函数在分段点的左右极限，左极限用左边的函数式求，右极限用右边的函数式求。

如果函数在分段点连续，就分别求分段点的左右导数，左导数用左边的函数式求，右导数用右边的函数式求。如果左右导数相等，则在分段点可导，导数就是左右导数值。

如果左右导数不相等，或至少其中一个不存在（含导数为无穷大的情况），则函数在分段点不可导。

可导函数的凹凸性：

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

以上内容参考 百度百科-导数

Answer 2

最好用定义求左右导数，如果左右导数存在且都是A，则导数是A。这样做的好处是避免出错，如果想用左右对应法则的导函数来求，可用导数极限定理：f(x)在x0的邻域内连续，在去心邻域内可导，lim(x→x0，f'(x)=A，则f'(x0)=A。

假设一个分段函数

y=x（x≤1）；x²（x＞1）

很显然，x＜1时，导数y‘=1

而x＞1时，导数y’=2x

那么求x=1时的导数

（limx→1+）y‘=2

（limx→1-）y'=1

两边的相等，所以导数不存在

导数存在的定义——某点左右导数存在且相等

扩展资料：

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

参考资料来源：百度百科-导数

Answer 3

最好用定义求左右导数，如果左右导数存在且都是A，则导数是A。这样做的好处是避免出错，如果想用左右对应法则的导函数来求，可用导数极限定理：f(x)在x0的邻域内连续，在去心邻域内可导，lim(x→x0
f'(x)=A，则f'(x0)=A。

Answer 4

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 5

例如：y=f(x)，x<0，y=g(x)，x≥0，
当x<0时的导数为f'(x)
当x>0时的导数为g'(x)
当x=0时比较复杂：分为几种情况
①若f'(x)和g'(x)在x=0处都有意义，
当f'(0)=g'(0)时，x=0处的导数就为f'(0)或g‘(0)
当f'(0)≠g'(0)时，x=0处的导数不存在
②若f'(0)或g'(0)有一个无意义
不妨设f'(0)无意义，则取f'(x)在x=0处的极限，记为lim(x→0)f'(x)，若极限不存在则无导数，
若存在就判断lim(x→0)f'(x)与g'(0)是否相等，相等就有导数，不等就无导数
③若f'(0)或g'(0)都无意义，就比较lim(x→0)f'(x)与lim(x→0)g'(x)，其中任意一个极限不存在则导数不存在
当两者都存在时，比较方法与前面相同