Question

已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,过椭圆的右焦点的直线l交椭圆于A,B两点，求线段AB的中点的轨迹方程。

若椭圆上存在两点P,Q管与直线y=4x+m对称，求m取值范围。

Answer 1

1、本题最好的方法是用参数方程来解决。
已知椭圆的右焦点为(1，0)，可以设直线AB的斜率为k，线段AB的中点是Q(x，y)。则AB：y=k(x－1)，与椭圆联立方程组，消去y得到：(3＋4k²)x²－8k²x＋(4k²－12)=0，得到Q点的横坐标为x=(x1＋x2)/2=4k²/(3＋4k²)，再代入直线方程中，得到y=(－3k)/(3＋4k²)，两式消去k，得到：k=(3x)/(4y)，再代入x=4k²/(3＋4k²)中，得到轨迹方程。需要注意的是这里的k是有范围的，原因就是直线需要和椭圆有交点，即方程(3＋4k²)x²－8k²x＋(4k²－12)=0中的判别式要大于0的。
2、可以设直线PQ的方程是y=－(1/4)x＋t，则此直线与椭圆联立方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程。①此方程必须判别式大于0，而判别式中是含有t的，②由此方程又可以得到PQ的中点坐标(也含有字母t的)，此中点在直线y=4x＋m上，这样就得到t和m的关系式，用m来表示t，即得到t=g(m)，代入刚才得到的t的不等式中，那这个不等式就全是含有字母m的了，解出m的范围即可。