Question

求解行列式：|0 0 1 0 | |0 1 0 0 | |0 0 0 1 | |1 0 0 0 |

Answer 1

1 1 0 ……0 0

0 1 1……0 0

………………

0 0 0……1 1

1 0 0……0 1

解: 按第1列展开得

(-1)^(1+1)乘

1 1 ……0 0

.....

0 0 ……1 1

0 0 ……0 1

加

(-1)^(n+1)

乘

1 0 ……0 0

1 1 ……0 0

………………

0 0 ……1 1

= 1 + (-1)^(n+1) 

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

把第二行乘以
-a
加到第一行，然后划去第一列、第二行，
则原式=
|0
1-ab
-a
0|
|1
b
1
0|
|0
-1
c
1|
|0
0
-1
d|
=
|1-ab
-a
0|
-
|
-1
c
1|
|
0
-1
d|
=-[(1-ab)cd-a-ad+(1-ab)]
=abcd+ab+ad-cd+a-1
.

Answer 3

|0
0
1
0
|
|0
1
0
0
|
|0
0
0
1
|
|1
0
0
0
|
直接用定义:
D
=
(-1)^t(3241)
=
(-1)^4
=
1.
也可以用行列式性质,
通过交换行列化为上三角