如果f(x)在x0可导,g(x)在x0不可导,则f(x)g(x)在x0?求解答过程

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塞曼雁箕玑
2020-03-06 · TA获得超过3万个赞
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可以确定,不可导。
反证法。以f(x)=f(x)+g(x)为例。
如果可导,由导数定义:lim(x->x0)
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
存在。但是,
lim(x->x0)
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=lim(x->x0)
[f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)
=lim(x->x0)
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
+
lim(x->x0)
[g(x)-g(x0)]/(x-x0)
因为
f(x)

x0
处可导,而
g(x)

x0
处不可导,所以上式中,第一个极限存在而第二个极限不存在,因此
lim(x->x0)
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
不存在,这与
f(x)

x0
处可导矛盾。因此
f(x)
不可导。
匿名用户
2023-05-23
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是f(x)·g(x)吗?

  1. 若g(x)在x=x0处 连续但不可导,那么f(x0)=0 是 F(x)=f(x)·g(x) 在x0处可导的充要条件,即只要满足f(x0)=0,即使g(x)在x0处不可导,仍有F(x)在x0处导数定义存在。

    F'(x0)=g(x0)· f'(x0) .

    可以用反证法证明,李林高等数学辅导讲义和其他的类似材料都有证明过程。

    例如f(x)=x,g(x)=|x|,g(x)左极限g'_(0)=-1,右极限g'(0)=1,g'(0)不存在,

    但F(x)=x²在x=0处可导

  2. 若g(x)在x0处缺乏定义,显然F'(x)定义不存在,F(x)在x0处不可导

其他情况也可以举例分析,此处已经说明:既可能可导,也可能不可导

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