Question

如何证明一个矩阵的行秩等于它的列秩

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

令A是一个m×n的矩阵，其列秩为r.
令A的列的一组基为c1,c2,...cr，并记矩阵C=(c1,c2,...cr).
显然A的每个列向量是c1,c2....cr这r个列向量的线性组合.
设A的第i列ai=bi1c1+bi2c2+....+bircr ,令B=(bij)
这是一个r×n矩阵
有A=CB 再观察A的行向量，有A=CB知A
的每个行向量都是B的行向量的线性组合，因此A的行秩
≤R
的行秩.
但R仅有r行,
所以A的行秩
≤r
=A
的列秩.
这就证明了A的行秩
≤A
的列秩类似可知A的列秩=A的转置的行秩
≤A的转置
的列秩=A的行秩所以A的行秩=A
的列秩