Question

若直角三角形ABC的周长为1，则△ABC的面积最大为__

Answer 1

（3-2倍根号2）/4
设三角形三边为a,b,c,面积为S。于是有S=1/2*ab于是有ab=2S
a+b+c=1有a+b=1-c。两边平方得a^2+b^2+2ab=1-2c+c^2注意到勾股定理有a^2+b^2=c^2于是得2ab=1-2c有
c=(1-2ab)/2=(1-4S)/2.于是a+b=1-c=1-(1-4S)/2=(1+4S)/2
由ab=2S和a+b=(1+4S)/2有a,b是关于方程X^2-(1+4S)/2*X+2S=0的两根.所以判别式大于或等于0.于是有[-(1+4S)/2]^2-4*1*2S>=0解得X>=(3+2倍根号2)/4或者X<=（3-2倍根号2）/4
当X>=(3+2倍根号2)/4时代入c=(1-2ab)/2=(1-4S)/2得c<0不符合题意.故舍去.于是X<=（3-2倍根号2）/4所以最大值为（3-2倍根号2）/4

Answer 2

设一条直角边为a，另一条为b，则斜边为1-a-b，建立等式a^2+b^2=(1-a-b)^2，得到a=(1-2b)/(2-(1-b))，则S=0.5*b*(1-2b)/(2-(1-b))，二次方程求最值，后面你应该会了