Question

求证根号（a^2+b^2）+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥根号(a+b+c)

Answer 1

题目是:根号（a^2+b^2）+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥(根号2)*根号(a+b+c)吧!
因为（a-b）^2
>=0
,所以a^2+b^2
>=2ab
,
两边同加a^2+b^2得：
2*(a^2+b^2)
>=a^2+2ab+b^2
所以
2*(a^2+b^2)
>=（a＋b）^2
因为
a>0,b>0
所以将上式两边同开方得：（根号2)*根号(a^2+b^2)
>=a＋b
即
根号(a^2+b^2)
>=a/（根号2）＋b/（根号2）
同理
根号(b^2+c^2)
>=b/（根号2）＋c/（根号2）
同理
根号(c^2+a^2)
>=c/（根号2）＋a/（根号2）
以上三式相加得：
根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=2*[a/（根号2）＋b/（根号2)＋c/（根号2）]
即
根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*（a+b+c)