Question

已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n； （2）求含x...

已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项． （1）求n； （2）求含x2项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

解：（1）根据题意，可得（3x-123x）n的展开式的通项为Tr+1=Crn(x13)n-r(-12x-13)r=(-12)rCrnxn-2r3，
又由第6项为常数项，则当r=5时，n-2r3=0，
即n-103=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，Tr+1=（-12）rC10rx10-2r3，
令10-2r3=2，可得r=2，
所以含x2项的系数为(-12)2C210=454，
（3）由（1）可得，Tr+1=（-12）rC10rx10-2r3，
若Tr+1为有理项，则有10-2r3∈Z，且0≤r≤10，
分析可得当r=2，5，8时，10-2r3为整数，
则展开式中的有理项分别为454x2，-638，45256x-2．