Question

在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,则C1到平面B1EF的距离

Answer 1

连结A1C1.B1D1,交于点O1；连结BD交AC于点O,交EF于点G
作O1P⊥B1G,垂足为P
因为点E、F分别是棱AB,CD的中点,所以EF//AC
又AC//A1C1,所以A1C1//EF
因为A1C1不在平面B1EF内,EF在平面B1EF内
所以A1C1//平面B1EF
这就是说直线A1C1上任一点到平面B1EF的距离都相等
所以要求点C1到平面B1EF的距离,可求直线A1C1上点O到平面B1EF的距离
又AC⊥BD,AC⊥OO1,BD交OO1于点O
则AC⊥平面BDD1B1
因为O1P在平面BDD1B1内,所以AC⊥O1P即EF⊥O1P
又O1P⊥B1G,且B1G和EF是平面B1EF内的两条相交直线
所以O1P⊥平面B1EF
即垂线段O1P就是点O1到平面B1EF的距离
在棱长为2的正方体AC1中,有：
BO=B1O1=√2
又易知点G是BO的中点,则BG=GO=√2/2
所以由勾股定理得
O1G=B1G=3√2/2
则三角形B1O1G的面积：
S=1/2 *O1P*B1G=1/2 *BB1*B1O1
所以O1P=BB1*B1O1/B1G
=2*√2/(3√2/2)
=4/3