Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω是正整数，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其...

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω是正整数，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象过点M（3π4，0），且在区间[0，π2]上是单调函数． （1）求φ与ω的值； （2）设a＜π2＜b，若f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，且M-m=12，求a，b所要满足的条件．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω是正整数，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，得φ=π2…（2分）
f（x）图象过点M（3π4，0）得：ω•3π4+π2=kπ，k∈Z，得：ω=4k3-23，k∈Z…（4分）
又f（x）在区间[0，π2]上是单调函数．ω是正整数，只有k取2，此时ω=2…（6分）
所以f（x）=sin（2x+π2）=cos2x．
（2）由题意可得f（x）在区间[a，b]上必有最小值m=-1，故最大值M=-12…（8分）
于是得a，b所要满足的条件是：b=2π3π3≤a＜π2或a=π3π2＜b＜2π3…（12分）