Question

证明:当0<x<π时，有sin(x/2)>x/π

设f(x)=sin(x/2)-(x/π)，利用导数判断函数单调性证明

Answer 1

设f(x)=sin(x/2)-(x/π)，则f'(x)=1/2*cosx/2-1/π
令f'(x)=0得x=2arccos(2/π)为唯一驻点
而当0<x<π时，f''(x)=-1/4sin(x/2)＜0
所以x=2arccos(2/π)为函数f(x)=sin(x/2)-(x/π)的最大值点
当x＜2arccos(2/π)时，函数为增，当x＞2arccos(2/π)时，函数为减
所以函数f(x)在闭区间0≤x≤π的最小值为为f(0)和f(π)中的较小者，而f(0)=f(π)=0
因此f(x)在开区间0＜x＜π的值始终大于0
即有sin(x/2)>x/π
另外，这道题可直接用函数的凹凸性来求解，因为y=sin(x/2)二阶导数小于0，
所以函数y=sin(x/2)在开区间0<x<π上为凸函数，既然是凸函数，那么函数y=sin(x/2)曲线上任取两点的连线段都在曲线的下面，而曲线端点的连线段正好就是y=x/π
所以0<x<π时，始终有sin(x/2)>x/π

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示