Question

试从dx/dy=1/y'导出:d²x/dy²=-y'''/(y')³

为什么直接在1/y'上再次求导不得答案？ 二阶导数不是在原导数上再次求导吗？ 试从dx/dy=1/y'导出:d²x/dy²=-y'''/(y')³

Answer 1

这个问题很好
首先，dx/dy=1/y',这里必须明确一点y'并非对y的函数，而仍然是y对x的函数，即y'=f(x),
即这里的dx/dy=1/y'=f(x)
所以d(dx/dy)/dy=[d(dx/dy)/dx]*[dx/dy]=[-y"/(y')²][1/y']=-y''/(y')³
上式中因为dx/dy=1/y'=f(x)，所以考虑先对x求导，然后乘以x对y的导数。
你如果直接对dx/dy=1/y'求二阶导数得出d²x/dy²=-y"/(y')²就是错误的，这里错误的原因在于把y'看做是对y的函数了

Answer 2

函数,而仍然是y对x的函数,即y'=f(x),
即这里的dx/dy=1/y'=f(x)
所以d(dx/dy)/dy=[d(dx/dy)/dx]*[dx/dy]=[-y"/(y')²][1/y']=-y''/(y')³
上式中因为dx/dy=1/y'=f(x),所以考虑先对x求导,然后乘以x对y的导数.
你如果直接对dx/dy=1/y'求二阶导数得出d²x/dy²=-y"/(y')²就是错误的,这里错误的原因在于把y'看做是对y的函数了

Answer 3

解：不能直接在1/y'上再求导。因为根据求导公式(u/v)'≠u'/v'，所以（1/y')'≠1/y''
二阶导数是在一阶导数上再求导，而不是在原导数上求导
y'=dy/dx,∴dx/dy=1/y'
y''=(dy/dx)'=d(dy/dx)/dx
这样就可以推导出来了啊