Question

一个高数问题，如图中18题，这里我不太懂，题干告知了这是几个几元函数？

求路过的好心人帮忙指点一下，求较为详细的分析，谢谢啦

Answer 1

如图所示

追问

谢谢，辛苦辛苦

Answer 2

f(x，y，z)是一个三元函数，其中z(x，y)是关于x，y的二元函数

Answer 3

f是三元函数，因为有三个变量，z是二元函数，

追问

谢谢，辛苦了

Answer 4

f本身是一个三元函数，而它的自变量之间又存在函数关系
它的题目中的偏导数表示方法其实是有点问题的，从上下文看，它是需要考虑隐函数的，而这个符号本身又是不考虑上下文的，所以比较纠结
如果考虑隐函数，对x的求偏导=
d(e^xyz^2)/dx + d(e^xyz^2)/dz * dz/dx
=e^xyz^2 + 2e^xyz *dz/dx --1)

而对隐函数两边求偏导得到
1+0 + dz/dx +yz + xydz/dx =0
dz/dx = -(1+yz)/xy
这个式子带入1)就可以得到结果
如果不考虑隐函数，结果直接就是
d(e^xyz^2)/dx = e^x yz^2
个人认为这个题目有问题，符号应该是第二种情况，但是题目出题的人希望的是第一种情况

追问

从上下文看，他需要隐函数是啥意思

不太懂

另外这个我咋感觉是两个一元函数啊

按照例2的分析，运用到这个18题，这个18题前后有两个等式，相当于两个约束条件，一共xyz三个字母，那应该是两个一元函数，我想不清楚，为啥问题是让求偏导，按说，一元函数应该是存在导数而不会存在偏导的。

还是挺谢谢你

追答

你这个理解是错误的，混淆了各个数学元素之间的关系
首先f(x,y,z)=e^x yz^2不是一个约束，它定义了一个函数，你把他当成一个“等式”其实不是很合理，如果有f(x,y,z)=e^xyz^2=3，这才构成一个等式。如果你一定要把它当作一个等式，那么f也应该当作一个未知量，不能只把xyz当作未知量
其次，即使f(x,y,z)=e^xyz^2=3附加一个约束，函数f还是多元函数，你顶多说z是x的一元函数或者y时x的一元函数，但是不能说f是x的一元函数，否则一样你还是少一个约束
在这种情况下，求偏导总是对的

追问

感觉你好厉害，辛苦了

Answer 5

追问

我觉得这个是两个一元函数

一共有两个限制条件，三个字母xyz，不应该是两个一元函数那

吗

追答

首先，对于x+y+z+xyz=0 ，题目给出z=z(x,y),也就是z可以用x,y来表示
所以是二元函数
那么f(x,y,z)中的z也可以用z(x,y)来表示
也就是f(x,y,z(x,y)),所以，这个函数可看成复合的二元函数
不可能是一元函数，如果是一元，那应该是
z=z(x), y=y(x)的单原变量形式

追问

懂了谢谢

还有，我这个方框框起来的，这样写对不对

追答

额，容易引起误会。可以写成