Question

一个高数问题，如图中18题，这里我不太懂，题干告知了这是几个几元函数？

求路过的好心人帮忙指点一下，求较为详细的分析，谢谢啦

Answer 1

三元高数（本质上是二元函数），需要用复合函数和抽象函数求导

Answer 2

18. 设f(x，y，z)=(e^x)yz²；其中z=z(x，y)是由 F(x，y，z)=x+y+z+xyz=0所确定的隐函
数。求∂f/∂x∣(0，1，-1)=?
解(一)：由x+y+z+xyz=x+y+(1+xy)z=0，得z=-(x+y)/(1+xy)；代入函数f(x，y，z)的表达式
即得：f(x，y，z)=(e^x)y[-(x+y)/(1+xy)]²=(e^x)y(x+y)²/(1+xy)²;
由此可见：f(x，y，z)=φ(x，y)=(e^x)y[(x+y)/(1+xy)]²是关于x，y的二元函数。
∴∂f/∂x=(e^x)y[(x+y)/(1+xy)]²+(e^x)y•[(1+xy)²•2(x+y)-(x+y)²•2(1+xy)•y]/(1+xy)^4；
当x=0，y=1时z=-(x+y)/(1+xy)=-(0+1)/(1+0)=-1；∴只需将x=0，y=1，代入上式即得：
∂f/∂x∣(0，1，-1)=1+[(2-2)/1]=1;
解(二)：上面的解法太麻烦，是为了回答你的【是几元函数】才这么啰嗦的。事实上可直接
求导：∂f/∂x=(e^x)yz²+(e^x)y•2z(∂z/∂x)；
其中∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-(1+yz)/(1+xy)∣(0,1,-1)=0；
∴∂f/∂x∣(0,1,-1)=(e°)•1•(-1)²+0=1;

追问

您好，

这个图的例2跟我问的问题相似，这个题为啥就是两个二元函数？

按照这个题的分析的逻辑，我在想，我问的题目，也有两个约束条件，一共有x,y,z三个字母，应该是两个一元函数啊，我这样考虑对吗