Question

求通解或特解：y''-8y'+16y=e^(4x),y=(0)=0,y'(0)=1。

我求出特解为xe^(4x)通解C1e^4x+C2xe^4x 答案是y=xe^4x+1/2*x^2*e^(4x)，想知道y=(0)=0,y'(0)=1有什么用

Answer 1

解：∵齐次方程y''-8y'+16y=0的特征方程是r²-8r+16=0，则r=4
∴齐次方程y''-8y'+16y=0的通解是y=(C1x+C2)e^(4x)
(C1,C2积分常数)
设原方程的解为y=Ax²e^(4x)
∵y'=4Ax²e^(4x)+2Axe^(4x)
y''=16Ax²e^(4x)+16Axe^(4x)+2Ae^(4x)
代入原方程得2Ae^(4x)=e(4x)
==>2A=1
==>A=1/2
∴原方程的一个特解是y=x²e^(4x)/2
∴原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(4x)+x²e^(4x)/2
(C1,C2积分常数)
∵初始条件是y(0)=0,y'(0)=1
∴代入通解得C1=1，C2=0
故原方程满足初始条件的解是y=(x+x²/2)e^(4x)。
说明：初始条件y(0)=0,y'(0)=1是用来确定积分常数C1和C2。