Question

设x,y,z是整数且x²+y²=z²,求证：60|xyz.

Answer 1

因为 60 = 4*3*5,所以只需证明：4|xyz、3|xyz、5|xyz
下面证明：3|xyz
对任意整数 a,a^2 除以 3 只能余 0 或 1.
若 a ≡ 0 (mod 3),则 a^2 ≡ 0 (mod 3)
若 a ≡ 1 (mod 3),则 a^2 ≡ 1 (mod 3)
若 a ≡ 2 (mod 3),则 a^2 ≡ 1 (mod 3)
所以,3 必整除 x、y、z 中的一个,否则 x^2、y^2、z^2 除以 3 都余 1,那么等式左侧 x^2+y^2 除以 3 余 2,而等式右侧 z^2 除以 3 余 1,矛盾.
下面证明：5|xyz
对任意整数 a,a^2 除以 5 只能余 0 或 1 或 4.
若 a ≡ 0 (mod 5),则 a^2 ≡ 0 (mod 5)
若 a ≡ 1 (mod 5),则 a^2 ≡ 1 (mod 5)
若 a ≡ 2 (mod 5),则 a^2 ≡ 4 (mod 5)
若 a ≡ 3 (mod 5),则 a^2 ≡ 4 (mod 5)
若 a ≡ 4 (mod 5),则 a^2 ≡ 1 (mod 5)
所以,5 必整除 x、y、z 中的一个,否则 x^2、y^2、z^2 除以 5 都余 1 或 4,那么等式左侧 x^2+y^2 除以 5 余 0 或 2 或 3,而等式右侧 z^2 除以 5 余 1 或 4,矛盾.
下面证明：4|xyz
(1)
如果 z 是偶数,那么 z^2 能被 4 整除.
此时,x 和 y 不能一奇一偶,否则 x^2+y^2 是奇数；
x 和 y 也不能都是奇数,否则 x^2+y^2 除以 4 余 2；
所以 x 和 y 只能也是 2 个偶数.
所以 4|xyz
(2)
如果 z 是奇数.
那么 x 和 y 只能一奇一偶.
不妨设 x 是偶数,而 y 是奇数.
x^2 = (z+y)(z-y)
因为 z+y 和 z-y 都是偶数,所以可以设：x = 2u,z+y = 2v,z-y = 2w
代入：(2u)^2 = (2v)(2w)
也就是：u^2 = vw
因为 z = v+w 是个奇数,所以 v、w 必须是一奇一偶.
所以 u^2 = vw 是个偶数,也就是 u 是个偶数.
所以 x = 2u 能被 4 整除.
证完了.