Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作 OD⊥AC于D，连接BC． (1)求证：OD=

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作 OD⊥AC于D，连接BC． (1)求证：OD= BC； (2)若∠BAC=40°，求∠ABC 的度数．

Answer 1

（1）问题抄错了吧？觉得（1）求证OD=1/2BC才对。OD=BC是不可能的。
证明：
∵OD⊥AC，
∴DC=DA（弦心距垂直平分弦）
在△ABC中，
∵OB=OA（同圆的半径都相等）；DC=DA（已证）
∴OD是△ABC的中位线
∴OD=1/2BC（三角形中位线平行且等于底边的一半）
（2）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（半圆上的圆周角是直角）
∵∠ACB=90°（已证），∠BAC=40°（已知）
∴∠ABC=180°－90°－40°=50°（三角形内角和）
（2）求∠AOC的度数
∵OA=OC（同圆半径都相等）
∴∠OCA=40°（等腰三角形底角相等）
∴∠BOC=40°×2=80°（三角形外角等于不相邻的两个内角和）
则∠AOC=180°－80°=100°（互补角的意义）