Question

一道数学中考题，帮忙解一下

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交AB于E，F是DC延长线上的一点，FA、FB与⊙O分别交于M、G，GE的延长线交⊙O于N，连结AN．
（1）求证：AB平分∠MAN；
（2）若N是弧AB的中点，求证：BE＋EF＝ AM；
（3）若⊙O的半径为5，EF＝2CE＝6，求AN的长．

注：如果一些符号打不出来，就用文字吧，或者，把答案写在word上，发送到
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xiexie

Answer 1

分析
（1）连接AG，由直径对的圆周角是直角和垂径定理知∠AGF=∠AEF=90°，则A、E、G、F四点在以AF为直径的圆上，AF的中点是此圆的圆心，故有AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等桥绝察，由圆周角定理知，弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG，由同角的余角相等知，∠BAG=∠BFE，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，有∠MAB=∠NGB由宏租圆周角定理知∠NGB=∠NAB故有∠MAB=∠NAB即AB平分∠MAN；
（3）连接OC、BM，由已知有OC=5，CE=3，则在Rt△OEC中由勾股定理得OE=4，所以AE=OA+OE=9，在Rt△AEF中EF=6，由勾股定理得 AF=313，易得Rt△ABM∽Rt△AFE得 AMAE=ABAF，可求 AM=AB•AEAF=301313由（1）知AB平分∠MAN，故 AN=AM=301313．
解答：解：（1）连接AG，则∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，即A、E、G、F四点在同一个圆上．
∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．

（3）连接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴ AF=313．
∵AB=10，由Rt△ABM∽Rt△AFE得 AMAE=ABAF，
∴ AM=AB•AEAF=301313．
∵AB平分∠MAN，
∴ AN=AM=301313．敏茄
（2）题不会，麻烦就选我吧，我给得很详细的，手打得累死了。