Question

x=x0的邻域是什么意思?

Answer 1

就是函数在x0附近的一个小区间，具体有多小呢，有无限小，但并不是x0这个点。

给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域，当且仅当U满足以下的邻域公理：

U1：若集合A∈U(x)，则x∈A。

U2：若集合A,B∈U(x)，则A∩B∈U(x)。

U3：若集合A∈U(x)，且A⊆B⊆ X，则B∈U(x)。

U4：若集合A∈U(x)，则存在集合B∈U(x)，使B⊆A，且∀y∈B，B∈U(y)。

结论

拓扑空间X，X的子集A是开集，当且仅当A是其中所有点的邻域。（显然由此可知，从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间）。

拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的开核，当且仅当A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。

拓扑空间X，X的子集A和A’，A’是A的闭包，当且仅当A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}。