Question

在三角形内画若干条线，使其变成多少个三角形。有什么规律？

Answer 1

如果在三角形内画n条非交叉线段，可以将三角形分割成n+1个三角形。这个规律称为欧拉公式。

欧拉公式是由瑞士数学家欧拉提出的，它描述了凸多面体（包括三角形）的顶点、边和面之间的关系。对于一个具有V个顶点、E条边和F个面的凸多面体，欧拉公式可以表示为：

V - E + F = 2

对于三角形来说，因为它只有一个面，所以F=1。如果我们在三角形内画n条非交叉线段，那么就会产生n+1个三角形，即该三角形被分割成n+1个小三角形。此时，欧拉公式变为：

V - E + (n + 1) = 2

移项得到：

V - E = 1 - n

这个式子表明，当在三角形内画n条非交叉线段时，它们同时切割掉了原先的n条边，并在每个交点处新增了一个新的顶点。因此，这n条线段会增加n个顶点和2n条边，也就是说：

V = n + 3
E = 3n + 3

将这两个式子代入欧拉公式，得到：

n + 3 - 3n - 3 = 1 - n
n + 1 = n + 1

这个式子说明，在三角形内画n条非交叉线段后，三角形被分割成了n+1个小三角形，符合我们推断的规律。