Question

．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形． （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB．

（2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．这个第（2）问是否有两种情况，如何讨论？

Answer 1

评析：本题是一个探索型的，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边关系，所以是以应边就成比例。当相似了对应角相等，易求 。
　　答案：解：（1）∵ △PCD是等边三角形，　　　
　　∴ ∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD，
　　从而∠ACP=∠PDB=120°
　　∴ 当 时，△ACP∽△PDB
　　即 当CD2=AC·BD时，△ACP∽△PDB
　　（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD.
　　∴ ∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB
　　=∠PBD+60°+∠DPB
　　=60°+60°=120°.

Answer 2

若△ACP∽△PDB
∴AC：PC=PD:BD
∵△PCD是等边三角形
∴PC=CD=PD
∴AC:CD=CD:BD
∴CD平方=AC*BD
∴当AC,CD,BD满足CD平方=AC*BD时，△ACP∽△PDB

Answer 3

△ACP∽△PDB
∴AC：PC=PD:BD
∵△PCD是等边三角形
∴PC=CD=PD
∴AC:CD=CD:BD
∴CD平方=AC*BD
∴当AC,CD,BD满足CD平方=AC*BD时，△ACP∽△PDB