Question

一均匀带电的1/4圆环,电荷线密度为A,则该1/4圆环对其圆心的场强是多少?

Answer 1

我这画图不方便,我尽量用文字解释清楚：

假设圆环半径为R,那么该带电体的长度是πR/2.电荷的线密度为A,那总电量就是πRA/2了.
假设将该圆环置于圆心的正左侧,那么它占据的就是左下45°到左上45°这个弧.显然上下方向的场强会相互抵消掉,你只需要将每一个点造成的场强的水平分量加在一起就好了.
由于圆弧上下对称,你只需要考虑一半,也就是1/8弧,再乘以2就行.现在考虑上半边.
取这样一段微小的带电体：这一小段中心与圆心的连线与水平方向夹角为θ(θ范围在0到45°),而这一小段所对的圆心角为dθ.(d表示微小量,dθ在此与θ无关,是另一个变量,希望你能理解)那么,这一小段的长度就是Rdθ,带电量为dq=RAdθ,由于极微小,可以视为点电荷,造成的场强就是kdq/R^2=kAdθ/R(k指静电常数,9×10^9 N.m^2/C^2),方向为向右,与水平方向夹角为θ.考虑到我们需要叠加的是场强的水平分量,那么这一个微元造成的水平电场为dE=(kA/R)cosθdθ.

抱歉,接下来可能需要一点点微积分的知识了：将θ从0连续地取到45°,将这其间的所有的dE都叠加起来,结果为(kA/R)(sin45°-sin0)=(√2)kA/2R,这是这1/8圆弧提供的水平电场.
那么1/4圆弧的场强就是(√2)kA/R.

抱歉涉及到了一部分微积分知识,我不知道怎么用初等数学算完剩下这一部分.如有不明白欢迎追问,如有不对欢迎指出.供参考.