Question

旋转体积公式的推导。

Answer 1

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。

或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。

旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍

V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。

=8bπ∫(0,R)xdy。

令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])。

V=8bπ∫(0,π/2)Rcosa*Rcosada。

=4bR^2π∫(0,π/2)(cos2a+1)da。

=4bR^2π[a+sin2a/2]|(0,π/2)。

=4πbR^2(π/2)。

=2bπ^2R^2。

1、dy求积分法

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线y=f(x)围成称为X型区域。特点是穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

此时对任意取定的x0∈[a，b]，过（x0，y0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形，由于x0的任意性，上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到dy求法。

2、dx求积分法

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线x=f(y)围成称为X型区域。特点是穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

此时对任意取定的y0∈[a，b]，过（x0，y0）作垂直于x轴的平面y=y0，该平面与曲顶柱体相交所得截面为底，z=f（x，yo)为曲边的曲边梯形，由于y0的任意性，上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到dx求法。