Question

求非齐次线性微分方程y''-y'=(sinx)^2的特解

Answer 1

左右同乘e^-x
左边正好是全微分
(e^(-x) y')'=e^(-x)(sinx)^2
所以d(e^(-x) y')=e^(-x)(sinx)^2 dx
积分
∫d(e^(-x) y')=∫e^(-x)(sinx)^2 dx
e^(-x)y'=∫e^(-x) (1-cos2x)/2 dx
=(1/2)∫e^(-x)dx-(1/2)∫e^(-x)cos2x dx
=-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x+(1/4)∫e^(-x)sin2x dx]
=-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x-(1/8)e^(-x)cos2x-(1/8)∫e^(-x)cos2x dx]
所以∫e^(-x)cos2x dx=e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5 +C
e^(-x)y'=-(1/2)e^(-x)-e^(-x)(2sin2x-cos2x)/10 +C1
y'=-(1/2)-(2sin2x-cos2x)/10 +C1e^(x)
再积一次分
y=-(1/2)x+cos2x/10+sin2x/20+C1e^(x)+C2