Question

设a,b,c是三角形ABC的三边长,证明:a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)>=0

Answer 1

证明：
a^2b(a－b)+b^2c(b－c)+c^2a(c－a)
= 1/2[(a+b－c)(b+c－a)(a－b)^2+(b+c－a)(a+c－b)(b－c)^2+(a+c－b)(a+b－c)(c－a)^2]≥0.
（据说是一个西德的小子写出来的）
设a为最大边,则
a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)＝a(b-c)^2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c).
因为后边每一项都是非负,所以原式成立；
只有当a＝b＝c 时,原式取等号