Question

如图，已知抛物线，求焦点弦长。

Answer 1

抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。

焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

推导过程：

设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

那么(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2