Question

变量分离法通解的三种形式

Answer 1

1. 指数形式：

如果一个变量分离法的通解可以写成指数形式，也就是 $u(x,t)=X(x)T(t)=ce^{-\lambda^2t}sin(\lambda x)$，其中 $c$ 为任意常数，$\lambda$ 是一些未知参数，那么这个通解就可以写成公式

$$
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{-\lambda_n^2 t} \sin \lambda_n x
$$

其中 $c_n$ 为待定常数，$\lambda_n$ 是满足某些条件的一系列参数。

2. 正弦余弦形式：

如果一个变量分离法的通解可以写成正弦余弦形式，也就是通解 $u(x,t)=X(x)T(t)=\left(A\cos(\frac{n \pi x}{L})+B\sin(\frac{n \pi x}{L})\right)e^{-\frac{n^2 \pi^2 a t}{L^2}}$ ，其中 $A,B$ 为任意常数，$n$ 为正整数，$L$ 为区间长度，$a$ 是一个正常数，那么这个通解可以写成公式

$$
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{n \pi x}{L} + B_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 a t}{L^2}}
$$

其中 $A_n,B_n$ 为待定常数。

3. 阶段函数形式：

如果一个变量分离法的通解可以写成阶段函数形式，也就是 $u(x,t)= \left\{\begin{aligned} & A+Bx+Ce^{at} &,x\leqslant x_0 \\& D+E \exp \left( -\frac{(x-F)^2}{4a(t-G)} \right) &, x>x_0 \end{aligned}\right.$ ，其中 $A,B,C,D,E,a,F,G,x_0$ 为任意常数，那么这个通解可以写成公式

$$
u(x,t) = \left\{\begin{aligned} &A+Bx+Ce^{at}&,\text{if}~ x \leq x_0 \\
&D+ \sum_{n=1}^{\infty} B_n \exp \left( -\frac{(x-F_n)^2}{4a(t-G_n)} \right)&,\text{if}~ x>x_0 \end{aligned}\right.
$$

其中 $A,B,C,D,E,a,F_n,G_n,x_0$ 为待定常数，$B_n$ 是一个待定系数。