Question

3已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公因数的积为1071,求这两个

Answer 1

这两个数分别是51、21，解答如下：
设这两个自然数为x和y，不妨设x>y，则有：x-y=30
由于最大公因数和最小公倍数的关系为：
最大公因数 × 最小公倍数 = 两数的积
所以：x * y = 1071 / gcd(x,y)
设gcd(x,y)=d，则有：
x = ma, y = mb, gcd(a,b) = 1
x * y = m^2 * a * b = 1071 / d
因为1071是3×7×17的乘积，所以d只能是3或7或17。
① 当d=3时，m^2 * a * b = 1071 / 3 = 357，考虑到a和b互质，所以a、b中有且仅有一个是3的倍数。
如果a是3的倍数，则b只能等于1，但此时m^2=357，不存在整数m满足条件。
同理，如果b是3的倍数，则m也不存在满足条件的整数。
所以，d=3的情况不存在符合题意的正整数解。
② 当d=7时，m^2 * a * b = 1071 / 7 = 153，考虑到a和b互质，所以a、b都不是7的倍数。
同样地，列出所有的乘积组合为153的互质正整数：
1 × 153，3 × 51，17 × 9
令x = 7m，则y = x - 30 = 7m - 30，代入x、y、a、b的关系式中，得：
m^2 * a * b = (7m) * (7m - 30) / 7 * ab = 153
因为7和m互质，所以ab = 3×17
代入上面列出的三个乘积组合中，发现只有3×17的情况符合x和y都是正整数的条件。
∴ 当d = 7时，有解x = 51，y = 21。
③ 当d=17时，m^2 * a * b = 1071 / 17 = 63
考虑到a和b互质，所以a、b都不是17的倍数。
同样地，列出所有的乘积组合为63的互质正整数：
1 × 63，3 × 21
令x = 17m，则y = x - 30 = 17m - 30，代入x、y、a、b的关系式中，得：
m^2 * a * b = (17m) * (17m - 30) / 17 * ab = 63
因为17和m互质，所以ab = 3
代入上面列出的两个乘积组合中，发现都不符合x和y都是正整数的条件。
∴ 当d = 17时，也无正整数解。
因此，这两个自然数分别为51和21。

Answer 2

解：
1071=3*3*7*17,
17*3-7*3=30,
17*3=51，
7*3=21，
最小公倍数是：3*7*17，最大公因数是：3，
答：这两个自然数是51和21。