矩阵相似是否相同的特征向量?

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社无小事
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2023-06-21 · 游戏也是生活的态度。
社无小事
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相似的矩阵必有相同的特征值,但不一定有相同的特征向量。

如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P,有P^(-1)*A*P=B。

det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)。

即B的特征多项式与A的特征多项式相同,故有相同的特征值。如果A的特征向量是a的,则B的特征向量就是Pa,设x是相应的特征向量,故Ax=ax,于是:BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx。

若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:

1、 求出全部的特征值。

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量。

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