Question

数学几何题！

如图，已知△ABC的外角∠MAC的角平分线交BC的延长线于D，交△ABC的外接圆⊙o于E。求证（1）AC*AB=AE*AD
（2）AD^2=DB*DC-AB*AC
最好有多种解法！多一种我加十分啊！

Answer 1

证明：(1)因为AD平分角MAC,
所以角MAD=角DAC, 又因为角MAD=角EAB.
所以角DAC=角EAB.
连结EB，因为A E B C 四点都在园0上，
所以角ADC=角AEB,
所以三角形ACD相似于三角形AEB
所以AC比AE=AD比AB,
所以AC*AB=AE*AD. （证毕）
(2)方法一：由割线定理可知：DB*DC=DE*AD,
就是DB*DC=(AE+AD)*AD,
DB*DC=AE*AD+AD的平方，
所以AD的平方＝DB*DC--AE*AD 而AE*AD=AC*AB (已证）
所以AD平方＝DB*DC--AB*AC. (证毕）
方法二：由割线定理可知：AD*DE=BD*DC,
两边都减去AD*AE 可得AD*DE--AD*AE=BD*DC--AD*AE
于是有 AD(DE--AE)=BD*DC--AD*AE
就是 AD*AD=BD*DC--AD*AE
因为AD*AE=AB*AC (第（1）小题已证）
所以AD平方＝BD*DC--AB*AC. (证毕）
希望你能满意。

Answer 2

如图所示：