Question

已知函数f(x)=x/a+lnx (1)若a=-1,求f(x)的单调区间 (2)若f(x)在（0，e]上的最大值为2，求a的值

Answer 1

解：(1)x的定义域为x>0
当a=-1时，
f'(x)=1/a+1/x=1/x-1，若f'(x)=0，得x0=1，即x=1是f(x)的极值点。
对x1∈(0,1)，f'(x1)=1/x1-1>0，f(x)在(0,1)上单调上升
对x2∈(1,+∞)，f'(x2)=1/x2-1<0，f(x)在(1,+∞)上单调下降
（2）若a>0，f'(x)=1/a+1/x>0，f(x)在(0,+∞)上单调上升
则当x∈(0,e]时，max(f(x))=f(e)=e/a+lne=e/a+1=2，得a=e
若a<0，x0=-a为f(x)的极大值点。
若x0∈(0,e]，max(f(x))=f(x0)=f(-a)=-1+ln(-a)=2，得
a=-e^3，x0=-a=e^3，与x0∈(0,e]矛盾；
若x0>e，则f(x)在(0,e]上单调上升
max(f(x))=f(e)=e/a+lne=e/a+1=2，得
a=e，与a<0矛盾。
所以，a>0，且a=e

Answer 2

a=-1,则f（x）=-x+lnx
所以f'（x）=-1+1/x=(1-x)/x ＞0
解得 0＜x＜1，所以这个函数的单调增区间是[0,1]
所以它的减区间就是(负无穷，0)∪（0，正无穷）

2） f'(x)=1/a+1/x=(x+a)/ax=0 得x=-a是f（x）的极小值点
当-a＜0时，即a＞0的时候，区间（0，e]位于极值点右面，此函数为单调递增函数
所以f（e）为最大值
有f（e）=e/a+0=2 解得a=e/2
当-a＞0时，即a＜0时，导函数恒大于零，也就是函数在（0，e]上是增函数
所以f（e）为最大值
有f（e）=e/a+0=2 解得a=e/2
即a=e/2