Question

已知中心在原点的椭圆的一个焦点（0，根号2），且过点A(1,根号2)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆

已知中心在原点的椭圆的一个焦点（0，根号2），且过点A(1,根号2)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为B和C，（1）求证直线BC的斜率为定值，并求出这个定值（2）求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

已知中心在原点的椭圆的一个焦点（0，根号2），且过点A(1,根号2)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为B和C，（1）求证直线BC的斜率为定值，并求出这个定值（2）求三角形ABC的面积最大值。
解：（1）设椭圆方程为y²/a²+x²/b²=1，其中c=√2
代入A坐标（1，√2）
2/a²+1/b²=1
a²-b²=2
解得a²=4，b²=2
椭圆方程：y²/4+x²/2=1即y²+2x²=4
（2）直线AC和AB的斜率为相反数
设AC的斜率为k，则AB为-k
直线AC：y-√2=k(x-1)即y=k(x-1)+√2
直线AB：y-√2=-k(x-1)即y=-k(x-1)+√2
AC方程代入椭圆，
整理：(k²+2)x²-(2k²-2√2k)x+k²-2√2k-2=0
韦达定理：x1×x2=(k²-2√2k-2)/(k²+2)
所以点C横坐标=(k²-2√2k-2)/(k²+2),纵坐标=k(-2√2k-4)/(k²+2)+√2
AB方程代入椭圆
整理：(k²+2)x²-(2k²+2√2k)x+k²+2√2k-2=0
韦达定理：x1×x2=(k²+2√2k-2)/(k²+2)
所以点C横坐标=(k²+2√2k-2)/(k²+2),纵坐标=-k(2√2k-4)/(k²+2)+√2
直线BC的斜率：
[k(-2√2k-4)/(k²+2)+√2+k(2√2k-4)/(k²+2)-√2]/[(k²-2√2k-2)/(k²+2)-(k²+2√2k-2)/(k²+2)]
=[-8k/(k²+2)]/[-4√2k/(k²+2)]
=√2为定值
（3）设BC直线为：y=√2x+b
点A到直线距离d=｜b｜/√3
直线y=√2x+b代入椭圆
整理：4x²+2√2bx+b²-4=0
韦达定理：x1+x2=-√2b/2，x1×x2=(b²-4)/4
BC=√(1+2)[(x1+x2)²-4x1x2]=√3*√(-1/2b²+4)
S△ABC=1/2*d*BC=1/2√(-1/2b^4+4b²)
令t=-1/2b^4+4b²
t=-1/2(b^4-8b²)
=-1/2(b²-4)²+8
t为二次函数，当b²=4即b=2或-2时，t有最大值=8
所以S△ABC最大值=√2

Answer 2

1、由题意知：椭圆方程应当是x²/b²+y²/a²=1.(a,b待定,a＞b＞0)且a²=b²+c²=b²+2①又点A在椭圆上，所以得1/b²+2/a²=1即a²+2b²=a²b²②,由①②联解得：a=2,b=√2.因此椭圆方程是：y²/4+x²/2=1.