Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F做斜率为1的直线l，交椭圆于A、B两点，若椭圆上存在一点

若椭圆上存在一点C，是四边形OACB为平行四边形。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△OAC的面积为15√5，求这个椭圆的方程。

Answer 1

⑴设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
设C（acosθ，bsinθ），则OC中点M为（0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2)，直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得：
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减，得：k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×（x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点，所以 （x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得：
bcosθ＋asinθ＝0 ……①
同时MF的斜率为1，所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得：
acosθ－bsinθ＝2c ……②
①②式平方相加，得：a^2+b^2=4c^2 , 又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里，cos^α=1/2 , 所以AB＝4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5＝1/2AB×d
将以上各式代入，化简得：a^2=100, b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1

顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧：
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点，倾斜角为α。
另一个焦点为F2，连接AF2与BF2 设AF1＝m,BF1=n
则，根据椭圆定义，AF2＝2a－m ，BF2＝2a－n
在三角形AF1F2中，由余弦定理得
（2a－m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得：m=b^2/(a-c*cosα)
同理，再用一次余弦定理，可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB＝m＋n＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)