Question

若不等式(1+1/n)^(n+a)<=e对任意的n属于N*都成立,求a的最大值.

我在http://zhidao.baidu.com/question/83701271.html看到了解答，答案应该是对的，如图。
但是在验证a=1/ln2-1成立的时候，原处 【g'(x)=-1/x(x+1)+1/(x+a)^2=[(2a-1)x+a^2]/x(x+1)(x+a)^2 】似乎求错了，差个负号，于是之后的 【g'(x)<0在1<=x<无穷上恒成立】便不合理，求解释。

Answer 1

1) 设g(x)=ln(1+1/x)-1/(x+a)
g'(x)=-1/x(x+1)+1/(x+a)^2=[(2a-1)x+a^2]/x(x+1)(x+a)^2

确实有问题，后面一步确实写错了，把负号丢掉了：
应为：g'(x)=-1/x(x+1)+1/(x+a)^2=[(1-2a)x-a^2]/x(x+1)(x+a)^2

同时这个题目的思路可以变一下，这样更容易让人理解：

ln(1+1/n)-1/(n+a)<=0
a+n<=1/ln(1+1/n)
a<=1/ln(1+1/n)-n
很容易得知：右边的函数在n>0的情况下为增函数
所以1/ln(1+1/n)-n的最小值为1/ln2 -1
所以a<=1/ln2 -1
good luck~

Answer 2

点击链接 然后你懂的 加分哈~