Question

不等式的证明

如图所示

Answer 1

移项通分
(2/3)^n-2^(n+1)/[3^(n+1)-3]
=[2^n*3^(n+1)-2^n*3-3^n*2^(n+1)]/{3^n*[3^(n+1)-3]}
分子=2^n*3^(n+1)-2^n*3-3^n*2^(n+1)=2^n*3^n*3-2^n*3-3^n*2^n*2=2^n*3^n-2^n*3=2^n*(3^n-3)>=0
当n=1时等号成立
分母=3^n*[3^(n+1)-3]>0
所以(2/3)^n-2^(n+1)/[3^(n+1)-3]>=0
移项即证明。

Answer 2

2^(n+1)/[3^(n+1)-3]＜(2/3)^(n+1)
因为2/3<1
越变越小
前一个比后一个大，所以
(2/3)^n≥(2/3)^(n+1)
则有
2^(n+1)/[3^(n+1)-3]＜(2/3)^n
设3^(n+1)-3=2×3^n
3^n=t
3t-3=2t
t=3
即
3^n=3
当n=1时等号成立