Question

数学中的虚数单位i，i的平方为什么是实数？

老师说因为i的平方是-1，所以i的平方是实数，但我认为i的平方并不符合复数的形式，有同学说因为规定i的平方是-1，所以它是例外，那不是自相矛盾吗？明明不符合复数，却又是实数。请帮忙解惑，我错在哪里了，同学说这不需要明白但我很好奇呀。

Answer 1

我倾向于2楼的作答。
单位虚数i规定为方程x^2+1=0的一个根。在数学史上，虚数i是在求解一元三次方程时被卡丹使用的，因为求根公式必须对负数进行开方运算。我们知道负数没有平方根。当时也是从形式上定义。并没有理解虚数的本质。这就是虚数一词的历史来源，即虚无，没有的数。
后来数学家高斯给出了复数的几何意义，即复数和复平面上的点一一对应，复数才被人们接受。
举个例子帮助你理解：
计算1+(-4)^（1/2）=1+（4*-1）^(1/2)=1+4^(1/2)*(-1)^(1/2)=1+2*(-1)^(1/2)
所以对负数开方都要涉及-1开方的问题，如果设x^2=-1有解为i，则上式就可以简化成1+2i了
所以复数就是形如a+bi(a,b为实数）的数
复数没有序的概念，不能比较大小。

Answer 2

这个确实有点抽象
结合矢量，结合复平面你就明白了
简单的说，直角坐标系，x轴是实数轴 y轴是复数轴
1 是 （1,0）0度角
i 是 （0,1）90度角
i的平方，相当于90度角，再转90度角，就转到 （-1,0）处了，也正好落在实数轴上

Answer 3

虚数的来历是数学家解方程遇到负数开方，开始认为无意义，后来为解决这一问题，定义了
i^2=-1，这样负数就可以开方了。所以仅仅是定义。
i^2从形式上看，是没有意义的，因为虚数运算没有到底，当我们算到最后，才能看是否虚数，
是否符合a+bi。而i^2算完等于 -1 ，当然是实数了。

Answer 4

实数也是复数的一部分
就像白狗也是狗一样