Question

已知函数f(x)=lg(ax^2+ax+1） 函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。解是a>=4，，，为什么？详细一点…

Answer 1

lgx 本身的值域是R，这个时候x必须取遍0到无穷大之间的所有数字，也就是说，真数的范围可以取遍0到正无穷大，那么就ok了对吧？
接下来现在真数被一个二次方程所替代，而y=ax^2+ax+1其中的y现在作为真数来用，所以显然，复合函数要有R为值域，所以真数位置的y必须取得到0到无穷大的所有数。
最后一步，作为二次函数，y的范围必须包含0到无穷大的全部，那么只能是开口向上，并且最低点也就是顶点位置不能高于x轴，也就是说，这个二次函数必须和x轴相交至少一次。
于是开口向上a大于0，delta，判别式大等于0，所以最后a大等于4.结束。
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追问

判别式大于0时，y值会取到负值，怎么办？

追答

这个你不必当心，比如lgx，本身的x也会有负值对吧，但是定义域自动舍弃了负值无意义的情况。
函数是先由式子确定定义域的啊~~~~，然后在定义域上求值域。
比如lg（x^2-1)定义域是大等于1和小等于-1，在这样的定义域上，真数的范围自然取到了0到无穷大的所有。而如果但看x^2-1，x在-1和1之间的时候，真数不就小于0无意义了么？
定义域的作用好像筛子，筛选了有用的部分。逻辑上先有x的范围，再有二次函数的值的范围，最后才有复合函数的范围。

Answer 2

函数f(x)的值域为R,说明x可以取任何数。因为 lgx中，定义域为 x>=0. 因此要想x可以取任何数，则必须ax^2+ax+1恒>=0 从二元方程的图象来看。要想二元方程恒>=0 , 只有当 a>0 ，△=<0 。
△=B^2-4AC=a^2-4a<=0 解得 a<=4

Answer 3

因为lgx的值域为R，x>0
所以要令f(x)的值域为R，只需令g(x)=ax²+ax+1能够取到所有大于零的值即可
即△≥0即可，此时a≥4
而对于g(x)中的那些取到小于等于0的值，我们可以将那些的从定义域中去掉即可，因为题目对定义域没有要求，我们可以任意的规定