Question

函数f(x)=lg(ax²+2x+a) 若f（x）的值域为R 则实数a的取值范围是_______

答案是[0,1] 求详细过程

Answer 1

f（x）的值域为R，则真数的值域中包含所有正实数。

所以：
（1）a=0时，真数=2x，能取尽所有正实数，可取；
（2）a≠0时，真数是二次函数，要能取尽所有正实数，则：开口向上，与x轴至少有一个交点。
即：a>0，△=4-4a²≧0，得：0<a≦1
综上，实数a的取值范围是[0,1]

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

a=0时，真数=2x，取到负实数的情况怎么理解？
a≠0时，为什么要“与x轴至少有一个交点”？

追答

a=0时，真数=2x，取到负实数的情况怎么理解？

答：负数不取即可，我只要能保证取尽所有正数。

a≠0时，为什么要“与x轴至少有一个交点”？

答：如果与x轴无交点，如真数=x²+2，那么真数就不能取尽所有正数，比如x²+2不能取到1,1/2。。。

Answer 2

（1）当a=0,符合
（2）当a≠0,括号中为二次函数。若开口向下有最大值f(x)有最大值，值域不是R，不符。 故a>0
则只需确保真数定义域为【0,正无穷】，得0＜a≤1
综上得a的取值范围为[0,1]