Question

已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点,若以M(2，1）为焦点，椭圆E的右

已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),AB是它的一条弦,M(2,1)是弦AB的中点,若以M(2，1）为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N（4，-1），且椭圆的离心率e与双曲线离心率之间满足e*e1=1，求：
（1）、椭圆的离心率
（2）、双曲线C的方程

请尽快哦，要详细过程。谢谢

Answer 1

已知椭圆E的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1， AB是它的一条弦，M（2，1）是弦AB的中点。若以M（2，1）为焦点、椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N（4，1），且椭圆的离心率e与双曲线的离心率ee1之间有ee1=1。求（1）椭圆E的离心率e；（2）双曲线c的方程。
解（1）设点A（x1,y1)，B（x2，y2)
A、B在椭圆上，则有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1, x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
相减并整理得b2(x1 - x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0（*）
M是AB中点，所以x1+x2=4,y1+y2=2
（*）式为 4b^2(x1-x2)+2a^2(y1-y2)=0
kAB=(y1-y2)/(x1-x2)=-2b^2/a^2
由题意kAB=kMN=-1
所以 2b^2/a^2=1，则c^2=a^2-b^2=2b^2-b^2=b^2 于是e=c/a=b/(根号2b)=根号2/2
(2)、由（1）得的结果，可知椭圆右准线方程为X=a^2/c=2c，
设双曲线上任一点P（X、Y），且P到准线X=2C的距离为d，根据圆锥曲线的统一定义 得，PM/d=e1,e1=1/e=根号2
PM^2=2d^2
(x-2)^2+(y-1)^2=2(x-2c)^2
又N是双曲线上的点，把点N（4，-1）代入上式，解得C=3，所以，所求双曲线方程是(x-2)^2+(y-1)^2=2(x-6)^2 ,
化简得（X-10)^2 -（y-1)^2 =32。

Answer 2

a=√2

F1M+F2M=2a=2√2
F1N+F2N=2a=2√2
所以MN=F1M+F1N=2√2+2√2-2√26/3=4√2-2√26/3
c²=a²-b²=1
F1(-1,0)
所以是y-0=k(x+1)
y=kx+k
代入x^2+2y^2=2
(2k^2+1)x^2+4k^2x+(2k^2-2)=0
x1+x2=-4k^2/(2k^2+1)
x1x2=(2k^2-2)/(2k^2+1)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(8k^2+8)/(2k^2+1)^2
y=kx+k
(y1-y2)^2=(kx1-kx2)^2=k^2(x1-x2)^2=(8k^4+8k^2)/(2k^2+1)^2
MN^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(8k^4+16k^2+8)/(2k^2+1)^2
=8(k^2+1)^2/(2k^2+1)^2=(4√2-2√26/3)^2
2√2(k^2+1)/(2k^2+1)=4√2-2√26/3
(k^2+1)/(2k^2+1)=2-√13/3
(2k^2+2)/(2k^2+1)=4-2√13/3
1+1/(2k^2+1)=4-2√13/3
2k^2+1=3/(9-2√13)
解出k即可

Answer 3

F1M+F2M=2a=2√2
F1N+F2N=2a=2√2
所以MN=F1M+F1N=2√2+2√2-2√26/3=4√2-2√26/3
c²=a²-b²=1
F1(-1,0)
所以是y-0=k(x+1)
y=kx+k
代入x^2+2y^2=2
(2k^2+1)x^2+4k^2x+(2k^2-2)=0
x1+x2=-4k^2/(2k^2+1)
x1x2=(2k^2-2)/(2k^2+1)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(8k^2+8)/(2k^2+1)^2
y=kx+k
(y1-y2)^2=(kx1-kx2)^2=k^2(x1-x2)^2=(8k^4+8k^2)/(2k^2+1)^2
MN^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(8k^4+16k^2+8)/(2k^2+1)^2
=8(k^2+1)^2/(2k^2+1)^2=(4√2-2√26/3)^2
2√2(k^2+1)/(2k^2+1)=4√2-2√26/3
(k^2+1)/(2k^2+1)=2-√13/3
(2k^2+2)/(2k^2+1)=4-2√13/3
1+1/(2k^2+1)=4-2√13/3

Answer 4

解答在图片