Question

有一道数学题

求：|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|4x-1|+...+|2011x-1|的最小值。
要过程。
答案大概是832又几分之几

Answer 1

这是传说中的折线函数吧。
我们显然可以看出函数是连续的,在x>1时,函数显然是增函数,在x<1/2011时,显然是减函数
而在某个区间1/k<=x<1/(k-1)时,函数可能增,也可能减,但是显然对于较小的k,函数增,对于较大的k,函数减,其中只有某个1/k,其两边的区间一个区间里面增,一个区间里面减,那么函数在这个点取道最小值,计算之即可,也就是找1+2+...+h大概达到1+2+...+2011的一半
也就是2011*（2011+1）/2=h*(h+1)/2 ，解出来h=1421.845，所以h应该为1422

所以x=1/1422时取最小值
式子=1-x+1-2x+……+1-1421x+0+1423x-1+……+2011x-1
=832+982x=592043/711=832.6905766526...

Answer 2

592043/711

追问

为什么呢？
不给详细过程，给个大概其也行。
别一点也没有。

追答

\sqrt{2011*1006}
计算复杂啊

追问

不对啊，开方怎么开出个分数出来呢？

Answer 3

当 1006x-1=0, x = 1/1006时取最小值
|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|4x-1|+...+|2011x-1|
= 1-x + 1-2x + ... + 1-1005x + 1007x-1+...+2011x-1
= 1005 - (1+1005)*1005/2 * x + (1007+2011)*(2011-1007+1)/2 * x - (2011-1007+1)
= 1005 - 505515 x +1516545x - 1005
= 1005

Answer 4

自主招生题吧，我也是这个数

追问

嗯嗯...我是832又491/711