Question

已知复数Z满足Z+1/Z∈R，且（Z-2)的模=2，求Z

Answer 1

设z=x+yi
z+1/z=(x+yi)+1/(x+yi)=(x+yi)+(x-yi)/(x²+y²)=x+x/(x²+y²)+[y-y/(x²+y²)]i∈R，y-y/(x²+y²)=0，得x²+y²=1
|z-2|=|x+yi-2|=|(x-2)+yi|=√[(x-2)²+y²]=2，(x-2)²+y²=4
解此方程组，得x=1/4，y=±√15/4
综上，z=(1/4)+(√15/4)i或z=(1/4)-(√15/4)i

Answer 2

Z+1/Z∈R，所以Z，1/Z为共轭复数，且|Z|=1，
故设Z=cosx+i*sinx，则：1/Z=cosx-i*sinx，
又|Z-2|=2，即|cosx-2+i*sinx|=2，
所以(cosx-2)^2+(sinx)^2=4，
4cosx=1，
所以 cosx=1/4，
所以sinx=√15/4，或-√15/4，
所以Z=1/4+i*√15/4，或 Z=1/4-i*√15/4。

Answer 3

设z=a+bi
由题意z+1/z=a+bi+1/(a+bi)=a+a/(a²+b²)+[b-b/(a²+b²)]i∈R
所以b-b/(a²+b²)=0.即a²+b²=1 ①
z-2=a-2+bi
|z-2|²=(a-2)²+b²=4 ②
联立①②可解得a=1/4.b=±√15/4
所以z=1/4±√15i/4