Question

2009全国1卷理科数学22题

函数f(x)=x^3+3bx^2+3cx有两个极值点x1,x2, x1∈[-1,0], x2∈[1,2].
（1）求b，c的约束条件，并画出线性区域
（2）证明-10≤f(x2)≤-1/2

第一个问不用说了，画出区域之后b的范围是[-1,0],c的范围是[-2,0]
第二个问，答案是这么说的
f'(x2)=3x2^3+6bx2+3c=0
f(x2)=x2^3+3bx2^2+3cx2
消去b得，f(x2)=-1/2 x2^3+3c/2 x2
由x2∈[1,2],c∈[-2,0]，解得f(x2)∈[-10,-1/2]

我的问题是，如果消去c，按照这种方法解得f(x2)的范围是[-16,1]两个范围不一样啊？
可答案是[-10,-1/2]
我想让大家帮我写一下消去c的计算过程，在b和x2分别取什么值的时候取得最大值和最小值，能不能算出-10,-1/2的两个值？

Answer 1

具体过程我就不写了，不过我告诉你为什么消去c会得到[-16,1]
x2∈[1,2], b的范围是[-1,0],c的范围是[-2,0]
首先，-16肯定是在x2，b，c都取区间边界的时候得到
但是，如果x2=1，那么b如果要取边界的值的话 肯定只能等于0，
如果x2=2， 那么b如果要取边界的值的话 肯定只能等于-1，
而
所以说，如果你留下b作为变量，而你-16是在 x2=2 b =0的时候求出来的值，那么-16根本就不会出现。
不过我又检查了下，就算留下b也不会有问题，仍然是-10