Question

已知数列{an}满足a1=5,a2=5,a(n+1)=an+6a(n-1),(n≥2，n属于正整数），若数列{a(n+1)+入an}为等比数列。

当k=多少时,1\a入+1\a[入+1]<4/3^(入+1）？

Answer 1

{a(n+1)+λan}为等比数列，那么设公比为q
这样有： a(n+1)+λa(n)=q*[a(n)+λa(n-1)]
即 a(n+1)=(q-λ)a(n)+qλa(n-1)
结合已知条件a(n+1)=an+6a(n-1)有：
q-λ=1;
qλ=6.
所以有解【q=3,λ=2】【q=-2, λ=-3】
也就是说，有两个结论都是成立的：
(1)a(n+1)+2a(n)=3*[a(n)+2a(n-1)]
(2)a(n+1)-3a(n)=(-2)*[a(n)-3a(n-1)]
对于结论(1)，令b(n)=a(n+1)+2a(n), 则 b(n)=3b(n-1), b(1)=a(2)+2a(1)=15;
所以得到通项b(n)=15*3^(n-1)= 5*3^n.
即a(n+1)+2a(n)=5*3^n. （1）
对于结论(2), 令c(n)=a(n+1)-3a(n)，同理可得
c(n)=(-2)c(n-1), c(1)=a(2)-3a(1)=-10; c(n)=(-10)*(-2)^(n-1)=5*(-2)^n
即)a(n+1)-3a(n)=5*(-2)^n （2）
（1）-（2）得到
5a(n)=5*[3^n - (-2)^n],
所以得到通项：【a(n) = 3^n - (-2)^n】

但是你的最后的问题我没有看懂。怎么无端出个k?
另外不等式是否为：1/a(λ) + 1/a(λ+1) < 4/3^(λ+1)?
可是λ的值是确定的值，所以不存在解不等式的问题。
所以我暂且按照问题为：【k=?时，1/a(k) + 1/a(k+1) < 4/3^(k+1)】来做。

由通项公式得到
不等式左侧=1/a(k)+1/a(k+1)
=1/[3^k-(-2)^k]+1/[3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
={[3^(k+1)-(-2)^(k+1)]+[3^k-(-2)^k]}/[3^k-(-2)^k][3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
={(3^k)*(3+1)-[(-2)^k]*(-2+1)}/[3^k-(-2)^k][3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
={4*(3^k)+[(-2)^k]}/[3^k-(-2)^k][3^(k+1)-(-2)^(k+1)]
将分子与分母同时除以因子：3^(2k+1) 即 3^(k+1)*3^(k)
不等式等价于
=[4+(-2/3)^k]/[3^(k+1)][1-(-2/3)^k][1-(-2/3)^(k+1)]<4/3^(k+1)
也就是（不等式两侧同乘3^(k+1)）
[4+(-2/3)^k]/[1-(-2/3)^k][1-(-2/3)^(k+1)]<4
即（为书写简便,记 (-2/3)=x）
4+x^k<4[1-x^k][1-x^(k+1)]
即 4+x^k<4[1-x^(k+1)-x^k+x^(2k+1)]=4+4[x^(2k+1)-x^(k+1)-x^k]
即 x^k<4(x^k)[x^(k+1)-x-1]
即 x^(k+1)-x-1>1/4, 其中x=-2/3带入得到(-2/3)^(k+1)>7/12
即：(-2/3)^k<-7/8
由于指数函数 (-2/3)^k 正负交替，先考虑其绝对值 (2/3)^k > 7/8 .
(2/3)^k 随着k的增大而单调递减，所以当k 越小的时候其值越大。
而当 k=1, (2/3)<7/8;所以当k>1时，(2/3)^k都永远 小于7/8.
也就是说当k为正整数时（k为a(n)的下标只能为正整数），
无论正项还是负项，都有(-2/3)^k >-7/8.
所以没有满足条件的正整数k存在。