Question

在三角形中 若b平方sin平方C+c平方B=2bcosB X cosC 试判断三角形的形状 （有过程) 用余弦定理

Answer 1

b²sin²c+c²sin²B=2bcosBcosC
用^2表示平方，以便方便
根据正弦定理，原式可化为sin^2Bsin^2C+sin^2Csin^2B=2sinBsinCcosBcosC
2sin^2Csin^2B=2sinBsinCcosBcosC
sinBsinC=cosBcosC
cosBcosC-sinBsinC=0
cos(B+C)=0
B+C=90度，所以A=90度
所以是直角三角形

Answer 2

将cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)代入得到:
a[b*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)-c*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
去分母整理得到:
2a^2b^2-2a^2c^2=2(b^4-c^4)
即2a^2(b^2-c^2)=2(b^2-c^2)(b^2+c^2)
所以(b+c)(b-c)(b^2+c^2-a^2)=0
所以b=c或b^2+c^2=a^2
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形