Question

已知abc是实数，函数f(x)=ax6^2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1 1.证明|c|≤1

2.证明当-1≤x≤1时|g(x)|≤2 3.设a>0,有-1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)

Answer 1

证明（1）:由题意|x|<=1 时|f(x)|<=1恒成立 带入x=0 .得|c|<=1证毕
证明（2）：由题意g(x)是一次函数，故最大值最小值在两侧端点处取得，即|g(x)|的最大值在端点处取得：最大值为|g(1)|或|g(-1)|. 由于|f(1)|=|a b c|<=1 故|g(1)|=|a b|<=|a b c| |c|<=1 1=2同理由|f(-1)|<=1 可证|g(-1)|<=2也成立，综上有|g(x)|<=2 成立，证毕。
解（3）:由证明（2）可知，当且仅当|a-b c|=1 或|a b c|=1， |c|=1同时成立时|g(x)|=2取等号，且在x= -1处取得。由于a>0 时.g(x)最大值为 g(1)=2=a b 故c=-1 . 又f(x)最小值在x=0 处取得，值为－1.故f(x)的对称轴为x=0 . 得b=0 带入上式有a =2 故解析式为f(x)=2x^2-1