Question

求微分方程的特解 y'-y=cosx x=0,y=0 要过程。............

Answer 1

常数变易法:
解一阶非齐次线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)[q(x)≠0]的时候
先令q(x)=0,解出对应的一阶齐次线性微分方程的通解y=Ce^(-∫p(x)dx);
然后再把这个通解中的C换为u(x),再把做过变换的通解带入原方程解出u(x)；于是原一阶非齐次线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)[q(x)≠0]的通解就是y=u(x)e^(-∫p(x)dx)

y'-y=cosx对应的一阶齐次线性微分方程y'-y=0的通解为
y=Ce^(-∫(-1)dx)=Ce^x
将y=u(x)e^x代入y'-y=cosx, 得
(u(x)+u'(x))e^x-u(x)e^x=cosx
u'(x)e^x=cosx
u'(x)=cosx/(e^x)
u(x)=∫cosxe^(-x)dx
=∫e^(-x)d(sinx)
=e^(-x)sinx-∫sinxd(e^(-x))
=sinx/(e^x)+∫sinxe^(-x)dx
=sinx/(e^x)-∫e^(-x)d(cosx)
=sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1+∫cosxe^(-x)dx
=sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1+u(x)
∴u(x)=[sinx/(e^x)-cosx/(e^x)+C1]/2=(sinx-cosx)/(2e^x)+C
∴y'-y=cosx的通解是
y=u(x)e^x=(sinx-cosx)e^x/(2e^x)+Ce^x=(sinx-cosx)/2+Ce^x
又x=0, y=0
∴(sin0-cos0)/2+Ce^0=0
C=1/2
∴y'-y=cosx的特解是
y=(sinx-cosx)/2+e^x/2=(sinx-cosx+e^x)/2