Question

将3x^2+1（-π<=X<π）展开为傅里叶级数 谢谢！

Answer 1

解:
f(x)=3x²+1(-π≤x＜π)为偶函数，应进行傅里叶余弦展开
设f(x)=a0+∑ancosnx，其中
a0=1/π∫f(ξ)dξ
(积分限:0到π)
=1/π∫(3ξ²+1)dξ=1/π(π³+π-0-0)=π²+1
an=2/π∫f(ξ)cosnξdξ
(积分限:0到π)
=2/π∫(3ξ²+1)cosnξdξ=6/π∫ξ²cosnξdξ+2/π∫cosnξdξ=6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)+2/(nπ)(sinnπ-sin0)=6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ=ζ，则
an=6/(n³π)∫ζ²cosζdζ
(积分限:0到nπ)
=6/(n³π)∫ζ²dsinζ=6/(n³π)(ζ²sinζ-∫sinζdζ²)=6/(n³π)[(nπ)²sinnπ-0-2∫ζsinζdζ]=-12/(n³π)∫ζsinζdζ=12/(n³π)∫ζdcosζ=12/(n³π)(ζcosζ-∫cosζdζ)=12/(n³π)(ζcosζ-sinζ)=12/(n³π)(nπcosnπ-sinnπ-0+sin0)=12/n²·cosnπ
∵当n为偶数时，cosnπ=1;当n为奇数时，cosnπ=-1
∴an=12(-1)^n/n²
∴f(x)=π²+1+∑12(-1)^n/n²·cosnx(-π≤x＜π)

Answer 2

解：
f(x)＝3x²＋1(－π≤x＜π)为偶函数，应进行傅里叶余弦展开
设f(x)＝a0＋∑ancosnx，其中
a0＝1/π∫f(ξ)dξ （积分限：0到π）
＝1/π∫(3ξ²＋1)dξ＝1/π(π³＋π－0－0)＝π²＋1
an＝2/π∫f(ξ)cosnξdξ （积分限：0到π）
＝2/π∫(3ξ²＋1)cosnξdξ＝6/π∫ξ²cosnξdξ＋2/π∫cosnξdξ＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)＋2/(nπ)(sinnπ－sin0)＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ＝ζ，则
an＝6/(n³π)∫ζ²cosζdζ （积分限：0到nπ）
＝6/(n³π)∫ζ²dsinζ＝6/(n³π)(ζ²sinζ－∫sinζdζ²)＝6/(n³π)[(nπ)²sinnπ－0－2∫ζsinζdζ]＝－12/(n³π)∫ζsinζdζ＝12/(n³π)∫ζdcosζ＝12/(n³π)(ζcosζ－∫cosζdζ)＝12/(n³π)(ζcosζ－sinζ)＝12/(n³π)(nπcosnπ－sinnπ－0＋sin0)＝12/n²·cosnπ
∵当n为偶数时，cosnπ＝1；当n为奇数时，cosnπ＝－1
∴an＝12(－1)^n/n²
∴f(x)＝π²＋1＋∑12(－1)^n/n²·cosnx(－π≤x＜π)